题目

一个高等数学的数列极限问题
1,证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根.2,记其实根为Xn,证明n趋于无穷大时Xn的极限存在,并求此极限

提问时间：2021-01-29

答案

1.证：设f（x）＝x＋x^2＋x^3＋…＋x^n.
因为在（0,＋∞）区间,f＇（x）＝1＋2x＋3x^2＋…＋nx^(n－1)＞0,
所以在（0,＋∞）区间,f（x）单调递增.
因为当x∈（0,1／2］时f（x）＜1,当x∈［1,＋∞）时,f（x）＞1,
所以有且仅有一个正实数x满足f（x）＝1,而此正实数x∈（1／2,1）.即原方程在（1／2,1）区间内有且仅有一个实根.
2.上面已经证明,当n为任意给定的不小于2的自然数时,x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1有且仅有一个正实根xn,且xn∈（0,1）.
而当xn∈（0,1）时,lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝xn／(1－xn).
由x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1得lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝1,即xn／(1－xn)＝1,
从而xn＝1／2,即limxn(n→∞)＝1／2.