题目

设连续函数f(x)满足f(x)+2∫(x上0下)f(e)dt=x的平方 ,求f(x)

提问时间：2021-01-29

答案

f(x) + 2∫[0→x] f(t) dt = x²
题是这样的吧?
两边求导：f '(x) + 2f(x) = 2x
将x=0代入原式得：f(0)=0
这样问题转化为微分方程的初值问题
这是一阶线性微分方程,套公式即可
f(x)=e^(-∫ 2dx)[∫ 2xe^(∫ 2dx) dx + C]
=e^(-2x)[∫ 2xe^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[∫ x de^(2x) + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - ∫ e^(2x) dx + C]
=e^(-2x)[xe^(2x) - (1/2)e^(2x) + C]
=x - 1/2 + Ce^(-2x)
将f(0)=0代入后得：C=1/2
因此：f(x) = x - 1/2 + (1/2)e^(-2x)
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