题目

p+q=r 且 (r-p)(q-p)-27p 是平方数,p,q,r都是质数,求所有(p,q,r)

提问时间：2021-01-29

答案

质数除2之外都是奇数,而奇数加奇数等于偶数,则根据p+q=r,且p,q,r都是质数,我们可以判断出p,q 之中必有一个为偶数,即为2
在根据第二个等式(r-p)(q-p)-27p 是平方数 我们可以判断 q>p,因此p=2
(r-p)(q-p)-27p
=q(q-2)-54
=q*q-2q-54
=（q-1）（q-1）-55
设 (r-p)(q-p)-27p =m*m
则（q-1）（q-1）=m*m+55
因为q是奇数,所以q-1的平方是偶数,所以推出m也是奇数
55>7*7,所以q-1>7,即q>8,
而且q+2也是质数
根据上面所有的条件 我们来求p q r
因为q>8且q为质,故q最小为11
q=11,r=11+2=13,10*10-55=45 排除；
q=13,r=13+2=15=3*5,排除；
q=17,r=17+2=19,18*18-55=269=13*13,
故p=2,q=17,r=19
不知道还有没有别的解,有的话可以根据上面方法继续往下推