题目

我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图①在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．

（1）试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图②，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．

提问时间：2021-01-29

答案

（1）
因为OE∥AC，
所以S_△AOE=S_△COE，
所以S_△AOF=S_△CEF，
又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．
（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S_△AGE=S_△AFG．
设AE与FG的交点是O．
则S_△AOF=S_△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．

（1）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；
（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”．

本题考点：平行线之间的距离；三角形的面积．

考点点评：能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“好线”的概念．