题目

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

提问时间：2021-01-29

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12＝2px1，① y22＝2px2，②

①-②，得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
∴

y1−y2

x1−x2

•（y₁+y₂）=2p，
∵过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，
∴

y1−y2

x1−x2

=1，AB方程为：y=x-

p

2

，
∵

y1+y2

2

为AB中点纵坐标，
∴y₁+y₂=2p，
∵y1＝x1−

p

2

，y2＝x2−

p

2

，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-p，
∴x₁+x₂=y₁+y₂+p，
∵

x1+x2

2

＝

(y1+y2+p)

2

=

3p

2

，
∴AB中点横坐标为

3p

2

，
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，
∴

p

2

+

3p

2

＝4，解得p=2．
故选B．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由点差法得到

y1−y2

x1−x2

•（y₁+y₂）=2p，因为过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以

y1−y2

x1−x2

=1，AB方程为：y=x-

p

2

，故y₁+y₂=2p，AB中点横坐标为

3p

2

，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，能求出p．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．