题目

已知x、y为正数,且x2+y2/2=1,则x√(1+y2)的最大值为?,x=?

提问时间：2021-01-28

答案

第一种方法：
令x=cost,y=根号2sint t∈[0,π/2]
则x√(1+y2)=cost根号（1+2sin²t）=根号（cos²t+2sin²tcos²t）
=根号（cos²t-1/2+1/2sin²2t+1/2)=根号（1/2cos2t+1/2-1/2cos²2t+1/2)
=根号（-1/2cos²2t+1/2cos2t+1）=根号[-1/2（cos2t-1/2)²+9/8]
∵t∈[0,π/2]∴cos2t∈[-1,1]
所以当cos2t=1/2时最大,此时x=cost=cosπ/6=根号3/2,得x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4
第二种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号（3-2x²）=根号（3x²-2x四次方）
令t=x²,因为x、y为正数,且x2+y2/2=1所以x∈[0,1]
∴t∈[0,1]
根号（3x²-2x四次方）=根号（3t-2t²）=根号[-2(t-3/4)²+9/8]
当t=3/4时最大,此时x=根号t=根号3/2,则x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4