题目

平方根的和是否无理数
$sqrt{2}+sqrt{3}$$sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}$$sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}+sqrt{7}$我已经通过自己的方法证明了上述结果都是无理数,但是对于更多项的,比如$sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}+sqrt{7}+sqrt{11}+sqrt{13}+sqrt{17}+sqrt{19}$能够证明它是无理数吗?（根号内的数不限于素数）

提问时间：2021-01-28

答案

高等数学符号我写不出来了.举一个例子：证明$sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}$为无理数：假设$sqrt{2}+sqrt{3}+sqrt{5}=p$,p是无理数,平方$10+2(sqrt{6}+sqrt{10}+sqrt{15})=p^2$$=>sqrt{6}+sqrt{10}+sqrt{15}=Q$是一个有理数,平方（平方后依然只有$sqrt{6},sqrt{10},sqrt{15}$,这时已经达到稳定了）$=>5sqrt{6}+3sqrt{10}+2sqrt{15}=Q-31=S$是一个有理数,$=>3sqrt{6}+sqrt{10}+2(sqrt{15}+sqrt{6}+sqrt{10})=S$$=>3sqrt{6}+sqrt{10}=T$是一个有理数,平方$=>12sqrt{15}=R$是一个有理数,矛盾 查看原帖>>