题目

已知函数f（x）=log_a（3-ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2021-01-28

答案

（1）由题设，3-ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）=3-ax在[0，2]上为减函数，…（4分）
从而g（2）=3-2a＞0，
∴a＜

3

2

，
∴a的取值范围为(0，1)∪(1，

3

2

)．…（6分）
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）=1，
即log_a（3-a）=1，∴a＝

3

2

，
此时f(x)＝log

3

2

(3−

3

2

x)，…（10分）
当x=2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）