题目
已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
提问时间:2021-01-28
答案
(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,a>0且a≠1,…(2分)
∵a>0,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,…(4分)
从而g(2)=3-2a>0,
∴a<
,
∴a的取值范围为(0,1)∪(1,
).…(6分)
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,∴a=
,
此时f(x)=log
(3−
x),…(10分)
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.…(12分)
∵a>0,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,…(4分)
从而g(2)=3-2a>0,
∴a<
3 |
2 |
∴a的取值范围为(0,1)∪(1,
3 |
2 |
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,∴a=
3 |
2 |
此时f(x)=log
3 |
2 |
3 |
2 |
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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