题目

“直线：x+（a-1）y+1=0与直线：ax+2y+2=0平行”的充要条件是______．

提问时间：2021-01-28

答案

由题意得：当a=1时，直线x+（a-1）y+1=0的斜率不存在，直线ax+2y+2=0的斜率为-

1

2

，此时两条直线不平行．
当a≠1时，直线x+（a-1）y+1=0变形为y＝

1

1−a

x+

1

1−a

，直线ax+2y+2=0变形为y＝−

a

2

x−1．
若直线x+（a-1）y+1=0与直线ax+2y+2=0平行则两条直线的斜率相等且截距不相等．
所以有

1 1−a ＝− a 2 1 1−a ≠ −1

，解得a=-1
所以“直线：x+（a-1）y+1=0与直线：ax+2y+2=0平行”的充要条件是 a=-1．
故答案为a=-1．

由于直线x+（a-1）y+1=0的形式是一般式所以讨论a=1与a≠1两种情况，当a≠1时，直线x+（a-1）y+1=0变形为y＝

1

1−a

x+

1

1−a

，直线ax+2y+2=0变形为y＝−

a

2

x−1．
若直线x+（a-1）y+1=0与直线ax+2y+2=0平行则两条直线的斜率相等且截距不相等，可解得a=-1．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．

考点点评：解决此类问题一般是利用斜率解决平行与垂直关系，进行解题时要注意讨论斜率是否存在这种情况，近年高考经常涉及此类问题．