题目

在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x-y+a=0交与A,B两点,且OA⊥OB,求a的值．

提问时间：2021-01-27

答案

（1）曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点（3±2√2,0）、（0,1）
设圆心C（3,a).则
（3+2√2-3）²+a²=3²+(a-1)²=r²
∴a=1,r=3
∴⊙C:(x-3)²+(y-1)²=3²,即x²-6x+y²-2y+1=-
(2)x-y+a=0 得y=x+a,代入圆,得
x²-6x+x²+2ax+a²-2x-2a+1=0
2x²+(2a-8)x+(a²-2a+1)=0
∴x1x2=(a²-2a+1)/2 x1+x2=4-a △=4a²-32a+64-8a²+16a-8=-4a²-16a+56>0得-2-3√2≤a≤-2+3√2
y1y2=x1*x2+a(x1+x2)+a²=(a²-2a+1)/2+4a-a²+a²=(a²+6a+1)/2
∵OA⊥OB
∴y1/x1*y2/x2=-1
(a²+6a+1)/(a²-2a+1)=-1
∴a²+2a+1=0
∴a=-1