题目

已知函数y=ax³-15x²+36x-24在x=3处有极值，则函数的递减区间为（　　）
A. （-∞，1），（5，+∞）
B. （1，5）
C. （2，3）
D. （-∞，2），（3，+∞）

提问时间：2021-01-27

答案

对函数y=ax3-15x2+36x-24求导数，得y'=3ax2-30x+36∵函数y=ax3-15x2+36x-24在x=3处有极值，∴当x=3时，y'=27a-54=0，解之得a=2由此可得函数解析式为y=2x3-15x2+36x-24，得y'=6x2-30x+36，解不等式y'＜0，得2＜x＜3∴...

根据导数的运算法则求得y'=3ax²-30x+36．由题意当x=3时y'=0，解得a=2，从而得到导函数y'=6x²-30x+36，再解关于x的不等式y'＜0，即可得到函数的递减区间．

本题考点：A:利用导数研究函数的极值 B:利用导数研究函数的单调性

考点点评：本题给出三次多项式函数的极值，求函数的单调减区间．着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的极值求法等知识，属于中档题．