题目

已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．

提问时间：2021-01-27

答案

当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，
又∵PE⊥AC于E，
∴∠CFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，
∴在△APE和△CQF中

AP=CQ ∠A=∠FCQ ∠AEP=∠CFQ=90°

，
∴△APE≌△CQF，
∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+CF=EC+AE=AC，
∴DE=

1

2

AC，
又∵等边△ABC的边长为2，
∴DE=1，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，易证△APE≌△CQF，可得AE=FC，PE=QF且PE∥QF，所以，四边形PEQF是平行四边形，即DE=

1

2

EF，等量代换得，DE=

1

2

AC，根据已知，即可得出DE的长为定值；

本题考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形及平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定及性质的运用，是解答本题的关键．