题目

高等代数计算题:在R^3定义线性变换σ如下
σ(a1)=(-5,0,3)
σ(a2)=(0,-1,6)
σ(a3)=(-5,-1,9)
其中
a1=(-1,0,2)
a2=(0,1,2)
a3=(3,-1,0)
1.求σ在R^3的标准基ε1,ε2,ε3下的矩阵A和ε在基a1,a2,a3下的矩阵B
2.设向量b=2a1+a2-a3,且σ(ε)关于a1,a2,a3的坐标
3.求σ的特征值和特征向量
4.σ是否可以对角化
越详细越好,算错不要紧,

提问时间：2021-01-27

答案

注:题目中向量都视为列向量
解: 由已知 σ(a1,a2,a3)=(ε1,ε2,ε3)K1
K1 =
-5 0 -5
0 -1 -1
3 6 9
且有 (a1,a2,a3)=(ε1,ε2,ε3)K2
K2 =
-1 0 3
0 1 -1
2 2 0
所以 (ε1,ε2,ε3)=(a1,a2,a3)K2^-1
所以 σ(a1,a2,a3)=(ε1,ε2,ε3)K1=(a1,a2,a3)K2^-1K1
即有 B=K2^-1K1=
19/8 3 43/8
-7/8 0 -7/8
-7/8 1 1/8
又 σ(ε1,ε2,ε3)=σ(a1,a2,a3)K2^-1=(ε1,ε2,ε3)K1K2^-1
即有 A=K1K2^-1=
0 5 -5/2
-1/2 -1/2 -1/4
3 0 3
求出A的特征值为 0, 两个共扼复根
可对角化.
注: 这题目太麻烦了, 掌握思路就行了!