题目

定义在R上的函数f(x)是减函数,如果不等式组f(1+kx-x^2)>f(k+2)和f(3kx-1)>f(1+kx-x^2),对任何x∈[0,1]都成立,求k的取值范围.

提问时间：2021-01-27

答案

依题有
1+kx-x^20 (1)
3kx-1<1+kx-x^2 即x^2+2kx-2<0 (2)
上面两式对任意x∈[0,1]都成立,暂不考虑特殊情况
对于(1)式,变形为
k>(x^2+1)/(x-1)=(x-1)+4/(x-1)+4对x∈[0,1）都成立
不等式右边在x=0时取最大值-1,所以k>-1
对于(2)式,变形为
k<(2-x^2)/2x=1/x-x/2对x∈（0,1]都成立,
不等式右边是一个单调递减函数,在x=1时取最小值1/2,所以k<1/2
而分别考虑两式的特殊情况,都满足所求出的范围
综上所述,k的范围是(-1,1/2)