题目

已知a大于0.求函数f（x）=根号（x）- ln（x+a）的单调区间

提问时间：2021-01-27

答案

　　已知a＞0,求函数f(x)=√x- ln(x+a)的单调区间.
函数f(x)=√x-ln(x+a)的定义域为x∈[0,+∞)
∵f'(x)=1/(2√x)-1/(x+a)
=(x-2√x+a)/[(2√x)(x+a)]
=[(√x-1)²+a-1]/[(2√x)(x+a)]
∴ 若a≥1则f'(x)≥0,f(x)=√x-ln(x+a)在x∈[0,+∞)内单调递增；
若0＜a＜1则
当0＜x＜[1-√(1-a)]²或x＞[1+√(1-a)]²时f'(x)＞0,f(x)=√x-ln(x+a)单调递增；
当[1-√(1-a)]²＜x＜[1+√(1-a)]²时f'(x)＜0,f(x)=√x-ln(x+a)单调递减
综上可得
①若a≥1则f(x)=√x-ln(x+a)在其定义域x∈[0,+∞)内单调递增；
②若0＜a＜1则f(x)=√x-ln(x+a)的单调递增区间为[0,[1-√(1-a)]²]及[[1+√(1-a)]²,+∞)
单调递减为[[1-√(1-a)]²,[1+√(1-a)]²]