题目

比较难的数学题高中水平
已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).
(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证：x1x2≥3+2根号2
(2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式
这里的x1、x2、{an}、a1、an、an+1、头一个字母后面的都是下标,an+1也是（n+1为下标）

提问时间：2021-01-27

答案

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（1）因为x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1
所以x1x2>0
所以x1^2/(2x1+1) * x2^2/(2x+1)=1
x1^2 x2^2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x1x2+2x1+2x2+1>=4x1x2+2(2根号(x1x2))+1
=(2根号(x1x2)+1)^2
所以x1x2>=2根号(x1x2)+1
根号(x1x2)>=1+根号2
所以x1x2>=(1+根号2）^2=3+2根号召
（2）方法用数学归纳法：
由题知a1=1,an+1=an^2/(2an+1)
则a2=1^2/(2*1+1)=1/3=1/(1*3)=1/(4-1)=1/(2^2-1)
a3=(1/3)^2/(2*(1/3)+1)=1/15=1/(3*5)=1/(16-1)=1/(2^4-1)
a4=(1/15)^2/(2*(1/15)+1)=1/(15*17)=1/(2^8-1)
猜想an=1/(2^2^(n-1)-1)
用数学归纳法证明：
当n=1时a1=1/(2^1-1)=1显然成立,
假设当n=k时成立,那么ak=1/(2^2^(k-1)-1)
则ak+1=ak^2/(2ak+1)
=[1/(2^2^(k-1)-1)]^2/(2*(2^2^(k-1)-1)+1)
=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2+(2^2^(k-1)-1)]
=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2^2^(k-1)+1)]
=1/[(2^2^(k-1))^2-1]
=1/[2^(2^(k-1)*2)-1]
=1/[2^2^(k+1-1)-1]
所以当n=k+1时猜想也成立.