题目

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1,2）.
提问：（1）若a=1,抛物线定点为A,它与x轴交与两点BC,且三角形ABC为等边三角形,求b的值.（2）若abc=4,且a>=b>=c,求|a|+|b|+|c|的最小值.

提问时间：2021-01-27

答案

⑴由题意,a＋b＋c＝2,∵a＝1,∴b＋c＝1
抛物线顶点为A（－b2,c－b24）
设B（x1,0）,C（x2,0）,∵x1＋x2＝－b,x1x2＝c,△＝b2－4c＞0
∴|BC|＝| x1－x2|＝| x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4 x1x2＝b2－4c
∵△ABC为等边三角形,∴b24 －c＝ 32b2－4c
即b2－4c＝23•b2－4c,∵b2－4c＞0,∴b2－4c＝23
∵c＝1－b,∴b2＋4b－16＝0,b＝－2±25
所求b值为－2±25
⑵∵a≥b≥c,若a＜0,则b＜0,c＜0,a＋b＋c＜0,与a＋b＋c＝2矛盾.
∴a＞0．
∵b＋c＝2－a,bc＝4a
∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋4a＝0的两实根．
∴△＝（2－a）2－4×4a≥0,
∴a3－4a2＋4a－16≥0,即（a2＋4）(a－4)≥0,故a≥4.
∵abc＞0,∴a、b、c为全大于0或一正二负．
①若a、b、c均大于0,∵a≥4,与a＋b＋c＝2矛盾；
②若a、b、c为一正二负,则a＞0,b＜0,c＜0,
则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2,
∵ a≥4,故2a－2≥6
当a＝4,b＝c＝－1时,满足题设条件且使不等式等号成立．
故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6．