题目

设集合A={x丨x²-2x-8=0}，B={x丨x²+ax+a²-12=0}，且A∪B=A，求满足条件的a的集合．

提问时间：2021-01-27

答案

由A∪B=A得，B⊆A，
∵集合A={x丨x²-2x-8=0}={-2，4}，
∴集合B=∅，{-2}，{4}，{-2，4}，
当B=∅时，则△=a²-4×（a²-12）＜0，
解得a＞4或a＜-4，
当B={-2}或{4}时，则△=a²-4×（a²-12）=0，
解得a=±4，则方程x²+ax+a²-12=0为：x²-4x+4=0或x²+4x+4=0，
解得x=2或x=-2，故a=4，
当B={-2，4}时，则-2和4是方程x²+ax+a²-12=0的两个根，
∴

−2+4＝−a −8＝a2−12

，解得a=-2，
综上得，满足条件的a的集合是{a|a≥4或a＜-4或a=-2}．

由A∪B=A得B⊆A并求出集合A，根据子集定义求出满足条件的所有的集合B，再分情况根据二次方程的判别式、韦达定理分别求出a的范围．

本题考点：并集及其运算．

考点点评：本小题主要考查并集及其运算、集合的包含关系判断及应用，考查运算求解能力、分类讨论思想思想，属于易错题．