题目

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，则C的离心率e=___．

提问时间：2021-01-26

答案

设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'
∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，
∴由余弦定理|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得6²=10²+|BF|²-2×10×|BF|×

4

5

，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|²+|BF|²=100=|AB|²
∴∠AFB=90°，可得|OF|=

1

2

|AB|=5，即c=5
因此，椭圆C的离心率e=

c

a

=

5

7

故答案为：

5

7

设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|²+|BF|²=|AB|²，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=

1

2

|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．

本题考点：椭圆的简单性质

考点点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．