题目

三点共线向量形式在n维空间下的推广
已知n维空间中有n个点,记为P1,P2…Pn,且这些点都在方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0上（A0,A1,A2,…An为常数,i1,i2,…in为空间中的n个维度）.现有点O及点P0,使k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0（k1,k2,…kn为常数）.
求证：k1+k2+…+kn=1的充要条件是点P0满足方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0.
P.S.能否给出代数方法的证明?

提问时间：2021-01-26

答案

设
向量OP1=（i11,i12,……,i1n） A1*i11+A2*i12+……+An*i1n+A0=0 （1）
向量OP2=（i21,i22,……,i2n） A1*i21+A2*i22+……+An*i2n+A0=0 （2）
…… ……
向量OPn=（in1,in2,……,inn） A1*in1+A2*in2+……+An*inn+A0=0 （n）
充分条件：
设向量OP0=（i01,i02,……,i0n）,A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0
因为 k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0
有 i01=k1*i11+k2*i21+……+kn*in1
i02=k1*i12+k2*i22+……+kn*in2
……
i0n=k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn
k1*（1）式+k2*（2）式+……+kn*（n）式
=（k1*i11+k2*i21+……+kn*in1）*A1+（k1*i12+k2*i22+……+kn*in2）*A2+……+（k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn）*An+（k1+k2+……+kn）*A0
=A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+（k1+k2+……+kn）*A0=0
又因为A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0,
故 A0=（k1+k2+……+kn）*A0
所以k1+k2+……+kn=1
必要条件：
设向量OP0=（i01,i02,……,i0n）,k1+k2+……+kn=1
因为 k1*向量OP1+k2*向量OP2+…+kn*向量OPn=向量OP0
有 i01=k1*i11+k2*i21+……+kn*in1
i02=k1*i12+k2*i22+……+kn*in2
……
i0n=k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn
所以 k1*（1）式+k2*（2）式+……+kn*（n）式
=（k1*i11+k2*i21+……+kn*in1）*A1+（k1*i12+k2*i22+……+kn*in2）*A2+……+（k1*i1n+k2*i2n+……+kn*inn）*An+（k1+k2+……+kn）*A0
=A1*i01+A2*i02+……+An*i0n+A0=0
得证：k1+k2+…+kn=1的充要条件是点P0满足方程A1*i1+A2*i2+…+An*in+A0=0