题目

已知点A（x1,y1）,B（x,y2）,O为坐标原点,向量OA×OB满足：绝对值OA+OB=绝对值OA-OB
设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）=0.求证：线段AB是圆C的直径

提问时间：2021-01-26

答案

由|OA+OB|=|OA-OB|
两边平方,移项,合并同类项可以得到：
OA·OB=0
即OA⊥OB
由课本结论知：
x1*x2+y1*y2=0
(你可以自己证一下）
这样,将A的坐标带入圆的方程左边有：
x1²+y1²-(x1+x2)*x1-(y1+y2)*y1
=x1²+y1²-x1²-x1*x2-y1²-y1*y2
=-(x1*x2+y1*y2)
=0=右边
故知A在圆上,
同理知：B在圆上
即知AB为圆的弦,
又知圆C圆心为（（x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
正好是AB中的,即AB过圆心
由此知AB是圆C的直径