题目

已知平面向量,向量a=（√2,√2）,向量b=（sinπx/4,cosπx/4）,若函数f（x）=a*b.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）将函数f（x）的图像上的所有点向左平移1个单位长度,得到函数y=g（x）的图像,若函数y=g（x）+k在区间（-2,4）上有两个零点,求实数k的取值范围.

提问时间：2021-01-25

答案

(1)易知f(x)=√2sinπx/4+√2cosπx/4
=2[(√2/2)sinπx/4+(√2/2)cosπx/4]
=2(cosπ/4sinπx/4+sinπ/4cosπx/4)
=2sin(π/4+πx/4)
则最小正周期为2π/(π/4)=8
(2)显然g(x)=2sin[π/4+π(x+1)/4)]=2cosπx/4
易知g(x)的最小正周期也为8
且g(x)在区间(-2,4)上只有一个零点x=2
要使y=g(x)+k在区间(-2,4)上有两个零点
即要使方程g(x)+k=0在区间(-2,4)上有两个根
即要使y=g(x)图象与水平直线y=-k在区间(-2,4)上有两个交点
注意到g(x)图象特征,易知当0