题目

在相对论提出以前的质点的动能公式(m乘于2分之v平方）是怎样被推出来的 相对论中质点的动能公式又是如何推

提问时间：2021-01-25

答案

经典物理对能量的定义：物体含有的,可以用来做功的某种性质,叫做能量.能量的多少由做功多少来决定.
好,为了知道一个速度为v的质点,能做多少功,我们开始对它进行减速,也就是让它做功.
我们使用匀减速过程让它做功来标定它的能量,减速从速度v开始,直到速度为0.匀减速的加速度大小为a,那么减速时候物体对外的力为ma,减速时间为v/a,相对于时间的平均速度为v/2
则
W = FS = F * v(时间平均) *t =ma* (v/a) *v/2 = (1/2)mv^2
也就是说,一个速度为v的物体,对外做功直到速度为0,一共做了(1/2)mv^2的功,根据能量的定义,物体运动所导致其可以对外做功,一共可以做这么多功,则动能就是这么大.
相对论里的动能,就要麻烦好多了,因为相对论中,物体的动能要根据E=mc^2这一公式,叠加到物体的质量上.这里就要用到微积分.
由于能量守恒原理,对一个物体加速,外界所做的功,也就等于物体获得的动能.我们现在对一个质量为m的物体施加恒力F,在经过一段距离后,其加速到v
那么,当物体从某个v加速到v+dv的过程中,我们进行分析
由于质能关系,F对物体做的功转化为的动能,也会叠加在物体的质量上,这就是为什么相对论说,物体速度越快,质量越大,加速越困难.
于是有
Fds = dm * c^2
两边同时除以dt得到
Fv =c^2 * dm/dt
又根据 F = dp/dt = d(mv)/dt 代入上式,约掉dt
mvdv + v^2 * dm= dm * c^2
也就是 vdv/(c^2-v^2) = dm/m
该式积分,v从0积分到V,m从m0积分到M
则得到 M = m0/sqrt(1-v^2/c^2)
那么,对第一个式子 Fds = c^2 * dm 积分,得到
EK = (M-m0)c^2
于是得到
Ek = [m0/sqrt(1-v^2/c^2) - m0]*c^2
这就是相对论的质点动能公式.