题目

lim【x→∞】[﹙x-a﹚/﹙x+a﹚]^x=∫【+∞,a】 4x^2e^(-2x)dx,求常数a

提问时间：2021-01-25

答案

lim(x→∞) [(x-a)/(x+a)]^x
=lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ [(x+a)/2a * 2ax/(x+a)]
由重要极限可以知道,
lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ (x+a)/2a =1/e,
而x→∞时,2ax/(x+a)趋于2a,
所以
lim(x→∞) [1 - 2a/(x+a)] ^ [(x+a)/2a * 2ax/(x+a)]
=e^(-2a)
∫ 4x^2e^(-2x)dx
=∫ -2x^2d[e^(-2x)] 使用分部积分法,
= -2x^2e^(-2x) + ∫ e^(-2x)d(2x^2)
= -2x^2e^(-2x) + ∫ 4x*e^(-2x)dx
= -2x^2e^(-2x) - 2x*e^(-2x) + ∫ e^(-2x)d(2x)
= -2x^2e^(-2x) - 2x*e^(-2x) - e^(-2x) +C (C为常数)
故
∫ [+∞,a] 4x^2e^(-2x)dx
=2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a) + e^(-2a)
由条件知
lim(x→∞) [(x-a)/(x+a)]^x
=∫ [+∞,a] 4x^2e^(-2x)dx
故
e^(-2a)=2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a) + e^(-2a)
即2a^2e^(-2a) + 2a*e^(-2a)=0,
而e^(-2a)>0,
故2a^2+2a=0,
解得a=0或 -1