题目

如图，棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，B₁C⊥A₁B，D是A₁C₁的中点，证明：

（Ⅰ）A₁B∥平面B₁CD
（Ⅱ）平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．

提问时间：2021-01-25

答案

证明：（I）取AC的中点O，连接OA₁，OB．
∵OC∥A₁D，OC=A₁D，∴四边形A₁OCD为平行四边形，∴A₁O∥CD，
又A₁O⊄平面B₁CD，CD⊂平面B₁CD，∴A₁O∥平面B₁CD，
同理可证BO∥平面B₁CD，
又A₁O∩BO=O，∴平面B₁CD∥平面A₁BO，又∵A₁B⊂平面A₁BO，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（II）证明：因为侧面BCC₁B₁是菱形，所以B₁C⊥BC₁
又已知B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，
又B₁C⊥平面A₁BC₁，又B₁C⊂平面AB₁C，
所以平面AB₁C⊥平面A₁BC₁．