题目

三角函数综合题．求解!
已知a,b均属于（0,pi/2),a+b不等与pi/2,向量A＝（sina,sinb）与B=(cos(a+b),-1)垂直．当tanb取最大值时,求tan(a+b)的值．

提问时间：2021-01-25

答案

因为垂直,所以sina*cos(a+b)-sinb=0,sina*cos(a+b)=sinb,两边同除cosb,拆开,则sina*cosa-sina*sina*tanb=tanb,移项 ,（1+sina*sina）*tanb=sina*cosa ,tanb=sina*cosa/（1+sina*sina）
若tanb取最大值,则sina*cosa/（1+sina*sina）有最大值
将分母中的1化作sina^2+cosa^2,把式子化成
sina*cosa/（sina^2+cosa^2+sina^2）
上下同除cosa^2,得
tana/(2(tana)^2+1)
在上下同除tana,得
1/[(2tana)+(1/tana)]
用基本不等式,得该式最大值为 （根号2）/4
当tana=（根号2）/2 时,等号成立
所以,tan(a+b)= 根号2