题目
数学归纳证明
证明:对大于2的一切正整数n,下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n) ≥ n^2+n-1
为什么
首先n=1容易验证成立
假设n=k成立 n=k+1时 有
(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)+(k+1)*(1+1/2+1/3+…+1/k)+(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)
(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2
(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0
(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)>k^2+k-1
加一起..n=k+1成立
OK 这两步不会理解
(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2
(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0
证明:对大于2的一切正整数n,下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n) ≥ n^2+n-1
为什么
首先n=1容易验证成立
假设n=k成立 n=k+1时 有
(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)+(k+1)*(1+1/2+1/3+…+1/k)+(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)
(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2
(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0
(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)>k^2+k-1
加一起..n=k+1成立
OK 这两步不会理解
(1+1/2+1/3+…+1/k)*(k+1)>2k+2
(1+2+3+…+k)*(1/(k+1)=k/2>0
提问时间:2021-01-25
答案
咳咳,应该是首先n=3容易验证成立(不是n=1哦~)
假设n=k成立,即(1+2+3+…+k)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k) ≥ k^2+k-1,
因为 1+2+3+…+k=k(k+1)/2,所以,
1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k≥(k^2+k-1)/[k(k+1)/2]
n=k+1时 有
[1+2+3+…+k+(k+1)][1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k+1/(k+1)]
=(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)
+(k+1)(1+1/2+1/3+…+1/k)
+(1+2+3+…+k)[1/(k+1)]
+(k+1)[1/(k+1)]
≥k^2+k-1+(k+1) (k^2+k-1)/[k(k+1)/2]+k(k+1)/2*[1/(k+1)]+1
≥k^2+k-1+2(k+1)-2/k+k/2+1
≥(k+1)^2+(k+1)-1
因为k>2,-2/k+k/2≥0
这样可以理解吗?
静而后能思.共勉~
假设n=k成立,即(1+2+3+…+k)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k) ≥ k^2+k-1,
因为 1+2+3+…+k=k(k+1)/2,所以,
1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k≥(k^2+k-1)/[k(k+1)/2]
n=k+1时 有
[1+2+3+…+k+(k+1)][1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k+1/(k+1)]
=(1+2+3+…+k)(1+1/2+1/3+…+1/k)
+(k+1)(1+1/2+1/3+…+1/k)
+(1+2+3+…+k)[1/(k+1)]
+(k+1)[1/(k+1)]
≥k^2+k-1+(k+1) (k^2+k-1)/[k(k+1)/2]+k(k+1)/2*[1/(k+1)]+1
≥k^2+k-1+2(k+1)-2/k+k/2+1
≥(k+1)^2+(k+1)-1
因为k>2,-2/k+k/2≥0
这样可以理解吗?
静而后能思.共勉~
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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