题目
在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
提问时间：2021-01-25
答案
（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=
AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴
=
=
=
=
，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，即（3AE）2=x2+42，（3FE）2=22+x2，
两式相加，得9（AE2+FE2）=2x2+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+FE2=AF2=4，
∴36=2x2+20，
解得：x=2
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；
（2）∵点F为AD中点，且AD=BC=4，
∴AF=
| 1 |
| 2 |
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴
| AE |
| CE |
| FE |
| BE |
| AF |
| CB |
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分别由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，BF2=AF2+AB2，即（3AE）2=x2+42，（3FE）2=22+x2，
两式相加，得9（AE2+FE2）=2x2+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+FE2=AF2=4，
∴36=2x2+20，
解得：x=2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程． 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好 奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看? 想找英语初三上学期的首字母填空练习…… 英语翻译 最新试题
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