题目

求一道二次函数数学题的解法!
已知直线y=1/2x和y=-x+m,二次函数y=x^2+px+q的图象顶点为M
（1）若M恰在直线y=1/2x与y=-x+m的交点处,试证明无论m取何实数值,二次函数y=x^2+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点
（2）在（1）的条件下,若直线y=-x+m过点D（0,-3）,求二次函数y=x^2+px+q的表达式,并作出其大致图象
（3）在（2）的条件下,若二次函数y=x^2+px+q的图象与y轴交于点C,于x轴的左交点为A,试在直线y=1/2x上求异于M的点P,是P在△CMA的外接圆上
说明：1．直线y=1/2x中k=1/2
2．二次函数中x^2表示x的平方
3．作函数图象就不必了,有了解析式我自己会作
有些数学符号打的不太标准,望原谅
请尽快回答!

提问时间：2021-01-24

答案

(1) 联列两直线方程y=1/2 x,y=-x+m得
点M(2/3 m,1/3 m)
对二次曲线求导y'=2x+p,令y’=0,将顶点M代入得
p=-4/3 m,再代入二次曲线函数得
q=1/3 m+4/9 m^2
将曲线方程y=x^2+px+q与直线方程y=-x+m联列得
方程x^2+(p+1)x+q-m=0,且将p,q代入根检验式
(p+1)^2-4(q-m)=1>0 （代进去计算很快）
所以方程有两个不同解,即曲线与直线有两个不同的交点
(2)在(1)条件下,由y=-x+m过点D求得m=-3
代入(1)中两式进一步求出p=4,q=3
所以曲线方程y=x^2+4x+3
(3)由(2)中求得的曲线得
C(0,3),A(-3,0),M(-2,-1),于是构成△CMA
计算得AC的斜率为1,AM的斜率为-1
所以AC垂直于AM
所以CM为△CMA的外接圆的直径
所以CM中点为圆心O(-1,1),求得半径平方为5
则圆的方程为(x+1)^2+(y-1)^2=5
将圆方程与直线y=1/2 x联列求得
另一个交点p(6/5,3/5)
有点乱,看不清楚的地方可以问.