题目

如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点．
求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．

提问时间：2021-01-24

答案

证明：（1）由已知得∠ADC=90°，
从而A，B，C，D四点共圆，AC为直径，P为该圆的圆心，
作PM⊥BD于点M，知M为BD的中点，
所以∠BPM=

1

2

∠BPD=∠BAD=60°，
从而∠PBM=30°；
（2）作SN⊥BP于点N，则SN＝

1

2

SB．
又DS＝2SB，DM＝MB＝

1

2

BD，
∴MS＝DS−DM＝2SB−

3

2

SB＝

1

2

SB＝SN，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以∠PAB＝

1

2

∠NPS＝15°，
故∠DAC=45°=∠DCA，
所以AD=DC．