题目

如图所示，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的面对角线A₁B⊥B₁C，求证B₁C⊥C₁A．

提问时间：2021-01-24

答案

证明：如图所示，连结A₁C，交AC₁于点D，则点D是A₁C的中点．
取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A₁B．
又A₁B⊥B₁C，∴B₁C⊥DN．
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC．
又平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AN⊂平面ABC，
∴AN⊥平面BB₁C₁C．
又B₁C⊂平面BB₁C₁C，∴B₁C⊥AN．
又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN=N，
∴B₁C⊥平面AND．
又C₁A⊂平面AND，∴B₁C⊥AC₁．