题目

我们把离心率为黄金比

5 -1

2

的椭圆称为“优美椭圆”.设

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F.A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 120°

提问时间：2021-01-24

答案

∵ca=5-12，∴2c2=(3-5)a2在椭圆中有b2+c2=a2，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=a2+b2，∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2，∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=3+52a2，所以∠FBA等于 90°．故选C．...

由ca＝5−12可得2c2＝(3−5)a2验证|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．