题目

大一高数关于隐函数求偏导的疑问
题干：z=(x,y)由方程ψ（x的平方,e的y方,z）=0所确定,且y=Sin x,求z关于x的偏导.
疑问：在隐函数对x偏导时,到底该不该把y视为常数?
老师说应该视为常数,可这儿y关于x变化啊,所以我认为不该视为常数.
求大家的看法和我思路错误的地方…谢了

提问时间：2021-01-23

答案

这要看具体情况,
隐函数求偏导有2个方法,
方法1是公式法,在这个题,公式就是Эz/Эx= -（Эψ/Эx）/（Эψ/Эz）
方法2是用方程两边对x求导的方法（实际就是推导上面公式的过程）
如果采用方法1,在求其中的Эψ/Эx时,应该把y和z都视为常数,
也就是把ψ（x的平方,e的y方,z）看成单纯一个三元函数,
就象是单纯一个二元函数z=z(x,y)求z关于x的偏导时,应该把y视为常数一样,老师说的对.
同理,在求其中的Эψ/Эz时,应该把y和x都视为常数.
如果采用方法2,就应该象你的理解,把y看成x的函数,
不仅如此,在这个题,当然还要把z看成x,y的二元（隐）函数,
在具体求的过程中,用的是复合函数的求导法则,来进行“方程两边对x求导、并且把y,z都看成x的函数”,过程是
ψ对第一个中间变量（x的平方）求导*第一个中间变量对x求导+
+ψ对第二个中间变量（e的y方）求导*第二个中间变量对x求导+
+ψ对第三个中间变量（z）求导*第三个中间变量对x求导
=（Эψ/Э1）*2x+（Эψ/Э2）*（e的y方）*（dy/dx）+（Эψ/Э3）*Эz/Эx
=（Эψ/Э1）*2x+（Эψ/Э2）*（e的y方）*（cosx）+（Эψ/Э3）*Эz/Эx=0
从中解出Эz/Эx就是正确答案.
另外,对于这个题,
由于ψ（x的平方,e的y方,z）中的ψ具体是什么函数关系没有给出来,
所以不适合用方法1,就是说,公式中的Эψ/Эx和Эψ/Эz只能表示成这样,再无法具体表达.