题目

已知等差数列an中a5=8,a10=18,三点（a1,0),(a2,2),(a3,0)在圆C上.
（1)求圆C的方程
（2）若直线l:mx+ny+1=0被圆C所截得的弦长为2√3,求m²+n²的最小值
（3）若一条动直线与圆C交于A、B两点,且总有|OA|*|OB|=8（点O为坐标原点）,试探究直线AB是否与一个定圆相切,请说明理由.

提问时间：2021-01-23

答案

（1）等差d=（a10-a5）/5=2,所以a1=a5-4d=0,a2=2,a3=4
三点分别为（0,0）,（2,2）,（4,0）
通过勾股定理,知道这3个点正好组成一个直角三角形,很容易知道 圆心为（2,0）,半径为2
所以圆C的方程为 (x-2)^2+y^2=4
(2)直线L被圆C所截的弦长为2√3,容易求得圆C圆心（2,0）到直线L的距离为1
即直线L为圆d：（x-2)^2+y^2=1的切线,任取圆d上的一点（x0,y0）的切线,其方程为
（x0-2)(x-2)+y0y=1
整理得 （x0-2)x+y0y+3-2x0=0,即
m=(x0-2)/(3-2x0),n=y0/(3-2x0) 代入m^2+n^2=[(x0-2)^2+y0^2]/(3-2x0)^2=1/(3-2x0)^2
可知1≤x0≤3（在圆d上的点）
所以m^2+n^2的最小值为1/9（当x0=3）
（3）设点A（xA,yA)和点B（xB,yB）在圆C上,且满足|OA|*|OB|=8
即√xA^2+xB^2 × √xB^2+yB^2=8
(xA^2+xB^2) × (xB^2+yB^2)=64 ①
因为AB在圆C上,所以满足（x-2)^2+y^2=4,将(xA,yA),(xB,yB)代入
可得xA^2+yA^2=4xA,xB^2+yB^2=4xB,代入 ①式
得xAxB=4
设直线AB的方程为mx+ny+1=0,与圆C相交,联立方程组得
（m^2+n^2)x^2+(2m-4n^2)x+1=0,
A,B为交点
所以xAxB=1/(m^2+n^2)=4,得m^2+n^2=1/4
容易看出,点（0,0）到直线AB：mx+ny+1=0的距离为定值,且d=2,即：
直线AB与定圆x^2+y^2=4相切.