题目

|x-1|+|x-2|+|x-3|+……|x-2008|最小值为多少?x取何值时能够取到最小值?
求|x-1|+|x-2|+|x-3|+……|x-2008|
当x取何值时能够取到最小值?最小值为多少?
x为有理数

提问时间：2021-01-23

答案

用数形结合来解题：
x为数轴上的一点,|x-1|+|x-2|+|x-3|+……|x-2008|表示：
点x到数轴上的2008个点（1、2、3、……、2008）的距离之和.
因为：
数轴上,要使点x到两定点的距离和最小,则x在两点之间,最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：
当 1 ≤ x ≤ 2008 时,|x-1|+|x-2008| 有最小值 2007 ；
当 2 ≤ x ≤ 2007 时,|x-2|+|x-2007| 有最小值 2005 ；
……
当 1004 ≤ x ≤ 1005 时,|x-1004|+|x-1005| 有最小值 1 .
综上,当 1004 ≤ x ≤ 1005 时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+……|x-2008|能够取到最小值,最小值为 1+3+5+……+2007 = 1004² = 1008016