题目

f(x)=ax²+bx（a≠0）,若函数对称轴为x=1,且方程f（x)=x有相等的实数根
（1）求f（x）的解析式
（2）若f（x）定义域【m,n】和值域[2m,2n],求实数m,n的值

提问时间：2021-01-23

答案

对称轴为x=1,即-b/(2a)=1,即b=-2a
且方程f（x)=x有等根,即：ax^2+(b-1)x=0有等根,因为x=0为其中一根,因此两根都为0,即b=1
故a=-1/2
1)f(x)=-x^2/2+x
2）f(x)=-1/2(x-1)^2+1/2
如果定义域包含x=1,则最小值为 2m=1/2,得m=1/4,
最大值为2n=f(n)=-n^2/2+n,得n=0,或-2,不符
或2n=f(m)=15/32,得n=15/64,不符
如果定义域不包含x=1,则最大最小值都在端点取得.
由2n=f(n)得n=0,或-2,因此区间[-2,0]符合
由2n=f(m),2m=f(n),得：
2n=-m^2/2+m
2m=-n^2/2+n
两式相减,并同除n-m：2=(n+m)/2-1,得;n+m=6,代入,无解.
因此符合条件的只有m=-2,n=0.