题目
如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.
①AD平分∠BAC,②DE⊥AB,DF⊥AC,③AD⊥EF.
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即:
①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答);
(2)请证明你认为正确的命题.
提问时间:2021-01-23
答案
(1)①②⇒③,正确;①③⇒②,错误,不符合三角形的判定;②③⇒①,正确.
(2)先证①②⇒③.如图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∴∠DGE=∠DGF=90°.
∴AD⊥EF.
再证②③⇒①.如图2,
设AD的中点为O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线.
∴OE=
AD,OF=
AD.
即点O到A、E、D、F的距离相等.
∴四点A、E、D、F在以O为圆心,
AD为半径的圆上,AD是直径.
∴EF是⊙O的弦.
∵EF⊥AD,
∴∠DAE=∠DAF.
即AD平分∠BAC.
(2)先证①②⇒③.如图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF.
∴DE=DF,∠ADE=∠ADF.
设AD与EF交于G,则△DEG≌△DFG,
∴∠DGE=∠DGF.
∴∠DGE=∠DGF=90°.
∴AD⊥EF.
再证②③⇒①.如图2,
设AD的中点为O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴OE,OF分别是Rt△ADE,Rt△ADF斜边上的中线.
∴OE=
1 |
2 |
1 |
2 |
即点O到A、E、D、F的距离相等.
∴四点A、E、D、F在以O为圆心,
1 |
2 |
∴EF是⊙O的弦.
∵EF⊥AD,
∴∠DAE=∠DAF.
即AD平分∠BAC.
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