题目

设函数F（x）＝x^3+ax^2－a^2x+m (a>0)
若函数F(x)在x€[－1,1]内没有极值点,求a的取值范围.注：x^3是指x的三次方,后面的x^2,a^2同理.

提问时间：2021-01-23

答案

F（x）＝x³+ax²-a²x+m
F′（x）＝3x²+2ax-a²
=(3x-a)*(x+a)
令F′（x）=0
故x=a/3或x=-a
因a>0
故a/3>-a
故F(x)在(-∞,-a],[a/3,+∞)上单调递增,在(-a,a/3)上单调递减
为使[-1,1]内无极值点只需[-1,1]是上述三个区间之一的子区间即可
显然[-1,1]只能是(-a,a/3)的子区间
故a>3