题目

要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐,已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半,
而盖的单位面积造价又是侧面积造价造价的一半,问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省?

提问时间：2021-01-23

答案

设盖的单位面积造价为m,有：
侧面积的单位面积造价为2m,
底面积的单位面积造价为4m.
S底=S顶=∏r^2
S侧=2∏rh
V=h∏r^2
h=V/(∏r^2)
总造价Y=4mS底+mS顶+2mS侧
=4m∏r^2+m∏r^2+2m2∏rh
=m(5∏r^2+4∏rh)
=m[5∏r^2+4∏rV/(∏r^2)]
=m(5∏r^2+4V/r)
有：Y'=m(10∏r-4V/r^2)
=m(10∏r^3-4V)/r^2
令 Y'=0,
得 r=三次根[2V/(5∏)]
又:Y”= m(10∏+8V/r^3)
当r=三次根[2V/(5∏)]时,Y”=30m∏＞0,Y有极小值；
有：h/r=[V/(∏r^2)]/r
=V/(∏r^3)
=V/[∏2V/(5∏)]
=5/2
即：r/h=2/5时造价最省.