题目

已知函数f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=______时，f（x）取得最小值．

提问时间：2021-01-22

答案

f（x）=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|
=|x-1|+2|x-

1

2

|+3|x-

1

3

|+…+100|x-

1

100

|
=|x-1|+|x-

1

2

|+|x-

1

2

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+|x-

1

3

|+…+|x-

1

100

|
共有（1+100）×100×

1

2

=5050项
又|x-a|+|x-b|≥|a-b|
（注：|x-a|为x到a的距离…
|x-a|+|x-b|即为x到a的距离加上x到b的距离，
当x在a，b之间时，|x-a|+|x-b|最小且值为a到b的距离）
所以f（x）的5050项 前后对应每两项相加，使用公式|x-a|+|x-b|≥|a-b|
f（x）≥（1-

1

100

）+（

1

2

-

1

100

）+…+…当x在每一对a，b之间时，等号成立
由于70×（1+70）×

1

2

=2485
71×（71+1）×

1

2

=2556
所以f（x）最中间的两项（第2525，2526项）是|x-

1

71

|
所以f（x）≥（1-

1

100

）+（

1

2

-

1

100

）+…+（

1

71

-

1

71

）
当x=

1

71

时等号成立
则当x=

1

71

时f（x）取得最小值