题目

已知数列{an}中前n项和为Sn,且Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n∈N*),令Cn=(n+1)*an/n,Tn=C1+C2+…+Cn.
比较Tn与5n/(2n+1）的大小并证明

提问时间：2021-01-22

答案

令n=1,可得a1=1/2
Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2 （1）
S(n+1)=-a(n+1)-(1/2)^n+2 (2)
（2）-（1）得a(n+1)=-a(n+1)+an+1/2^n
变形得 2^(n+1)a(n+1)-2^nan=1
故{2^nan}是首项为1公差为1等差数列
则可求得an=n/2^n
则Cn=(n+1)/2^n
再用错位相加法求出Tn=3-(n+3)/2^n
再判断Tn-5n/(2n+1）=(n+3)/(2n+1）-(n+3)/2^n的符号即可
只需比较2n+1和2^n的大小即可（用数学归纳法证明较好,自己试一下吧）
最终结果应该是当n=1和2 时,Tn<5n/(2n+1） 当n>=3时Tn>5n/(2n+1）