题目

已知圆的圆心C在直线y=-2x上，且与直线x+y-1=0相切于点A（2，-1）
（1）求圆C的方程
（2）经过点B（8，-3）的一束光线射到T（t，0）后被x轴反射，反射光线与圆C有公共点，求实数t的取值范围．

提问时间：2021-01-22

答案

（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据题意得：

2a+b=0 (2-a)2+(1-b)2=r2 b+1 a-2 ×(-1)=-1

，
解得：

a=1 b=-2 r2=2

，
则圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）易知点B（8，-3）关于x轴的对称点为B′（8，3），
则设光的反射线方程为y-3=k（x-8），即kx-y+3-8k=0（ξ），
若该直线与圆C相切，则有

|5-7k|

k2+1

=

2

，
解得：k=1或k=

23

47

，
则当光的反射线与圆有公共点时，k∈[

23

47

，1]，
将T（t，0）代入（ξ）中得：t=8-

3

k

，
该函数在[

23

47

，1]上是增函数，
则实数t的范围是[

43

23

，5]．

（1）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，可得圆心C（a，b），把圆心C坐标代入y=-2x得到关于a与b的方程，再由切点A在圆上，把A的坐标代入所设的圆C方程，得到一个关系式，再由切线的性质可得直线AO与切线垂直，由切线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得出关于a与b的另一个方程，把两个关于a与b的方程联立组成方程组，求出方程的解集得到a与b的值，再把求出的a与b的值代入关系式中求出r²，即可确定出圆C的方程；
（2）求出B关系x轴的对称点B′，设反射线方程的斜率为k，表示出反射线的方程，记作（ξ），当该直线与圆C相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的两个值，可得出光的反射线与圆C有公共点时k的范围，把反射点T的坐标代入（ξ）中，用k表示出t，根据此时函数为增函数，由k的范围即可求出t的范围．

本题考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；圆的切线方程．

考点点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，关于坐标轴对称的点的特点，切线的性质，以及函数增减性的运用，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．