题目

2006年8月15日的国际天文学联合会上定义了行星的新标准,冥王星被排除...
2006年8月15日的国际天文学联合会上定义了行星的新标准,冥王星被排除在行星之列而降为“矮行星”.另外,根据新标准从理论上可分析出：如果地球和月球还能继续存在几十亿年,月亮有可能成为行星.由于两者之间潮汐力的作用,月亮与地球的距离每年增加乐3.75cm,地球和月球的共同质心（地球和月球作为独立双星系统相互环绕的中心）转移到地球之外,那时月亮可能成为行星了.已知地球的质量M=5.97*10^24 kg,地球的半径R=6.37*10^6 m,月球的质量m=7.36*10^22 kg,月地中心距离L=3.84*10^8 m,按上述理论估算月亮还需经多少年才可能成为行星?（结果保留两位有效数字）

提问时间：2021-01-22

答案

先根据“双星系统”的规律,证明双星“到它们质心的距离与质量”成反比.
设双星相互之间的万有引力是F,则：
F=m1*ω2*r1=m2*ω2*r2
显然：m1*r1=m2*r2
双星之间的距离L=r1+r2
由上两式,r1=[m2/(m1+m2)]*L
取上式中m1为地球质量,m2为月球质量,L为月地距离,r1就是开始“地球中心”到“地月质心”的距离.
代入,解出：
r1=[m2/(m1+m2)]*L
=[7.36×10^22kg/(5.97×10^24kg+7.36×10^22kg)]×(3.84×10^8m)
≈4.676×10^6m（小于地球半径,质心在地球内）
每年月地距离增加3.75cm,就相当于地球到质心的距离增加了：(双星的质量不变,r1与L成正比)
Δr1=[m2/(m1+m2)]*ΔL
=[7.36×10^22kg/(5.97×10^24kg+7.36×10^22kg)]×(3.75×10^(-2)m)
≈4.57×10^(-4)m
后来,它们的质心移到“地球”表面处,就相当于质心移了距离R-r1,经历的时间：
T=(R-r1)/Δr1
≈(6.37×10^6m-4.676×10^6m)/[4.57×10^(-4)m/年]
≈3.7×10^9年=37×10^8年=37亿年