题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点
1,已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1,F2,P是它左支上一点,P到
左准线的距离用d表示,双曲线的一条渐近线为y=(√3)x,问是否存在点P,使d,|PF1|,|PF2|
成等比数列?若存在,求出P的坐标；若不存在,说明理由
答案；存在,P（-3a/2,±a√15/2)

提问时间：2021-01-22

答案

假设存在点P(x0,y0)满足题中条件．
∵双曲线的一条渐近线为y＝根号3x,∴b/a=根号3 ,b=根号3a,∴b^2＝3a^2,c^2－a^2＝3a^2,c/a ＝2．即e＝2．
由 |PF2|/|PF1|＝|PF1|/d=2得,
｜PF2｜＝2｜PF1｜ ①
∵双曲线的两准线方程为x＝±a^2/c ,
∴｜PF1｜＝｜2x0＋2a^2/c｜＝｜2x0＋a｜,｜PF2｜＝｜2x0－2a^2/c ｜＝｜2x0－a｜．
∵点P在双曲线的左支上,∴｜PF1｜＝－(a＋ex0),｜PF2｜＝a－ex0,代入①得：a－ex0＝－2(a＋ex0),∴x0＝－3a/2,代入x0^2/a^2-y0^2/b^2 ＝1,得y0＝±根号15a/2．
∴存在点P使d、｜PF1｜、｜PF2｜成等比数列,点P的坐标是(－3a/2,±根号15a/2)．