题目

已知向量

a

=（sin2x-1，cosx），

b

=（1，2cosx），设函数f（x）=

a

•

b

，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，

π

2

]时的最大值．

提问时间：2021-01-22

答案

∵向量

a

=（sin2x-1，cosx），

b

=（1，2cosx），
函数f（x）=

a

•

b

=（sin2x-1）+2cos²x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
故函数的周期为

2π

2

=π．
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
故当2x+

π

4

=

π

2

时，函数取得最大值为

2

．

利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）的解析式为

2

sin（2x+

π

4

），根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求函数的最大值．

本题考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．