题目

已知x∈R,向量oa=(acos^2,a),ob=(2,2√3sinxcosx-1),f(x)=oa*ob,a≠0
（1）求函数f（x）解析式,并求当a>0时,f（x）的单调递增区间
（2）当x∈{0,π/2}时,f（x）的最大值为5,求a的值

提问时间：2021-01-21

答案

由已知得：
f(x)=oa*ob
=2acos²x+2√3*asinxcosx-a
=a(2cos²x-1)+√3*asin2x
=2a(1/2*cos2x +√3/2*sin2x)
=2acos(2x-π/3)
所以函数解析式为
f(x)=2acos(2x-π/3) （x∈R）
当a>0时,若2x-π/3∈[2kπ-π,2kπ],即x∈[kπ-π/3,kπ+π/6],(k∈Z),则函数f(x)在上述每一个区间内都是增函数,所以f（x）的单调递增区间为每一个区间[kπ-π/3,kπ+π/6],(k∈Z).
（注：是每一个区间,而不是全部区间的并集）
（2）当x∈[0,π/2]时,有2x∈[0,π]
即有2x-π/3∈[-π/3,2π/3]
所以当a>0时,取2x-π/3＝0,即x＝π/6时,cos(2x-π/3)有最大值1 ,函数有最大值5
则有：2a＝5
此时解得a=5/2
当a