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题目
A,B为正定阵,证:AB是正定阵的充要条件是A,B可交换.

提问时间:2021-01-21

答案
充分性:由于A,B正定所以有可逆矩阵P、Q使A=PtP,B=QtQ,xtAx=xtPtPx=(Px)tPx=(Px)^2>0,xtBx=(Qx)tQx=(Qx)^2>0,xtABx=xtPtPQtQx,AB=BA时,(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA=AB说明AB是对称矩阵,Q(AB)Q^-1=QPtPQtQQ^-1=QPtPQt=(PQt)tPQt,由于PQt为可逆矩阵因而(PQt)tPQt是正定矩阵.令其为矩阵C,Q^-1CQ=AB,即AB相似于一正定矩阵,由这一点可以得出AB的所有特征值全部大于0,AB又是对称矩阵,根据正定矩阵的相关定理,说明AB是一正定矩阵.
必要性:由AB是正定矩阵推出AB为对称矩阵,又有充分性证明中,A=PtP,B=QtQ两个条件,因此就有AB=PtPQtQ=(AB)t=(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA,即AB=BA说明A,B可换
注:Pt指P的转置,Q^-1指Q的逆矩阵
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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