题目

已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1,0）,F2（1,0）,短轴的两个端点分别为B1,B2
（1）若三角形F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且向量F1P垂直向量F1Q,求直线l的方程

提问时间：2021-01-21

答案

（1）设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
根据题意知
a＝2b
a2−b2＝1
,解得a2＝
4
3
,b2＝
1
3
故椭圆C的方程为
3x2
4
+3y2＝1．
（2）由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为
x2
2
+y2＝1．
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意；
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k（x-1）．
由
y＝k(x−1)
x2
2
+y2＝1
,得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0．
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则
x1+x2＝
4k2
2k2+1
,x1x2＝
2(k2−1)
2k2+1
,
F1P
＝(x1+1,y1),
F1Q
＝(x2+1,y2)
因为
F1P
⊥
F1Q
,所以
F1P
•
F1Q
＝0,即
(x1+1)(x2+1)+y1y2＝x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1−1)(x2−1)
=(k2+1)x1x2−(k2−1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)
2(k2−1)
2k2+1
−(k2−1)
4k2
2k2+1
+k2+1
=
7k2−1
2k2+1
＝0,解得k2＝
1
7
,即k=±
7
7
．
故直线l的方程为x+
7
y−1＝0或x−
7
y−1＝0．