题目

设不经过坐标原点o的直线l与圆x²+y²=1,交于不同的两点p,q若直线PQ的斜率是直线op和oq斜率的等比中项求三角形面积的取值范围

提问时间：2021-01-21

答案

假设,p点坐标为（cosa,sina）q点为（cosb,sinb）,
所以有(cosa-cosb)^2/(sina-sinb)^2=tanatanb
左边和差化积得到tan^2[(a+b)/2]=tanatanb
[1-cos(a+b)]/[cos(a+b)+1]=sinasinb/cosacosb
设sinasinb=x,cosacosb=y
所以(1+x-y)/(y-x+1)=x/y
y+xy-yy=xy-xx+x
(y-x)(x+y-1)=0
所以结论为x=y或者x+y-1=0,而后一个结论是cos(a-b)=1,pqo贡献,鱼题目矛盾.
注意第一个结论,x=y,所以tanatanb=1,所以pq关于x=y对称即可满足等比条件.此时三角形面积的取值范围是（0,0.5）*取不到0.5是以为斜率不能是0好无穷大.
这已经是除了0.5以外无限制条件的面积取值范围了.