题目

如何证明比较a∧b 和b∧a的大小此类的问题?（如7∧8和8∧7的大小,或者2005∧2004和2004∧2005的大小）
我想过多种证明方法,其中觉得还可以的是自然对数的证明方法,不过还是不能证明出来,如ln7^8和ln8^7等于8ln7和7ln8,结果继续证明下去还是回到原点

提问时间：2021-01-20

答案

引入函数f（x）＝（lnx）/x,求导数,得：f′（x）＝［（1/x）x－lnx］/x^2＝（1－lnx）/x^2.
∴当x＞e时,f′（x）＜0,此时函数是单调递减的.
　当x＜e时,f′（x）＞0,此时函数是单调递增的.
∴当e＜b＜a时,有：（lnb）/b＞（lna）/a,∴alnb＞blna,∴ln（b^a）＞ln（a^b）,
　∴b^a＞a^b.如：7^8＞8^7、　　2004^2005＞2005^2004.
　当b＜a＜e时,有：（lnb）/b＜（lna）/a,∴alnb＜blna,∴ln（b^a）＜ln（a^b）,
　∴b^a＜a^b.如：0.5^2＜2^0.5、　　0.2^1.5＜1.5^0.2.